Définition

Définition :
Soit \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to{\Bbb R}\) deux fois différentiable en \(a\)
La différentielle seconde de \(f\) en \(a\) est une forme bilinéaire symétrique dont la matrice dans la base canonique est appelée la hessienne et est notée : $${{Hf(a)=D^2f(a)}}={{\begin{pmatrix}\cfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\end{pmatrix}_{1\leqslant i,j\leqslant n} }}$$
Elle est symétrique
(Différentielle seconde, Dérivée partielle seconde, Théorème de Schwarz)
[!Warning]+ Contre-exemple : fonction qui admet des dérivées partielles secondes mais n'est pas deux fois différentiable
$$f(x,y)={{\begin{cases}\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}&\text{si}\quad(x,y)\ne(0,0)\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}}}$$
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment retrouver la hessienne \(D^2f(x)\) de \(f\) à partir de sa Différentielle seconde \(d^2f(x)(h,h)\) ?
Verso: Utiliser la formule : $$d^2f(x)(h,k)=\frac12\Big(d^2f(x)(h+k,h+k)-d^2f(x)(h,h)-d^2f(x)(k,k)\Big)$$ et identifier les formes bilinéaires en \((h,k)\) du type \(\langle{Ah,k}\rangle \) (\(\to\) donne \(A\) à la hessienne).
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Notation

On note \({{\nabla}}^2={{\operatorname{Hess} }}\)
(Jacobienne)